Tipps und Lösungen
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Tipp
Für A: Wie kann sich die Anzahl dunkler Karten durch einen Zug ändern?
Für B: Betrachte jede Lücke zwischen zwei Karten. Was passiert mit der Anzahl dunkler Karten links von dieser Lücke, wenn du ein Paar umdrehst, das die Lücke nicht überbrückt?
Lösung
A - Unmöglich
Zwei helle Karten umzudrehen erhöht die Zahl dunkler Karten um zwei. Zwei dunkle umzudrehen vermindert sie um zwei. Bei einem gemischten Paar bleibt sie gleich.
Eine ungerade Anzahl dunkler Karten bleibt also ungerade. Zu Beginn ist es eine; am Ziel wären es null. Das Ziel ist unerreichbar. Die Nachbarschaftsregel wird für diesen Unmöglichkeitsbeweis gar nicht benötigt: Auch beliebige Paare würden nicht helfen.
B - Genau fünf Züge
Drehe nacheinander die Paare 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6 um. Die dunkle Seite am linken Ende wandert dadurch bis zum rechten Ende; der letzte Zug dreht beide dort dunklen Karten auf hell.
Das zeigt: Fünf Züge genügen. Für die Mindestzahl fehlt noch ein Argument.
Es gibt fünf Lücken: nach Platz 1, 2, 3, 4 und 5. Links von jeder dieser Lücken liegt anfangs genau eine dunkle Karte, am Ziel keine. Für jede Lücke muss die Anzahl dunkler Karten links davon also von ungerade auf gerade wechseln.
Ein Zug vollständig links der Lücke verändert diese Anzahl nur um null oder zwei. Ein Zug vollständig rechts verändert sie gar nicht. Nur das Paar unmittelbar über der Lücke dreht links genau eine Karte um und wechselt damit die Geradheit der Anzahl.
Deshalb muss jedes der fünf verschiedenen Nachbarpaare mindestens einmal benutzt werden. Ein Zug benutzt nur eines davon: weniger als fünf Züge reichen nicht.
Die fünf angegebenen Paare dürfen auch in anderer Reihenfolge je einmal gedreht werden: Jede innere Karte wird dann zweimal, jede äußere einmal umgedreht. Eine einzige kürzeste Zugfolge wird nicht behauptet.