Tipps und Lösungen
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Tipp
Auch Münzen, die nicht auf der Waage liegen, können durch das Ergebnis interessant werden. Überlege, wie du die neun Möglichkeiten mit dem ersten Vergleich in gleich große Gruppen aufteilen kannst.
Lösung
Lösungsweg
Bilde drei Gruppen: A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6}, C = {7, 8, 9}.
Wiege A gegen B:
- Links schwerer: Die gesuchte Münze liegt in A.
- Rechts schwerer: Sie liegt in B.
- Gleichgewicht: Sie liegt in C, denn A und B bestehen dann nur aus normalen Münzen.
Nun bleiben in jedem Fall drei verdächtige Münzen. Nenne sie a, b, c und wiege a gegen b:
- Links schwerer: a ist gesucht.
- Rechts schwerer: b ist gesucht.
- Gleichgewicht: c ist gesucht.
Die Gruppen werden nach dem ersten Ergebnis ausgewählt. Eine feste zweite Wägung, unabhängig vom ersten Ergebnis, ist hier nicht behauptet.
Warum das unabhängig vom Mehrgewicht funktioniert
In beiden Vergleichen liegen gleich viele Münzen auf den Schalen. Normale Münzen gleichen sich daher aus. Liegt die schwerere Münze auf einer Schale, ist diese schwerer, gleichgültig wie groß ihr positives Mehrgewicht ist. Ist sie in der ungewogenen Gruppe, herrscht Gleichgewicht.
Das Gleichgewicht der beiden Dreiergruppen schließt hier eine schwere Münze in einer dieser Gruppen aus, weil es genau eine abweichende Münze gibt und ihre Abweichungsrichtung bekannt ist. Bei mehreren abweichenden oder möglicherweise leichteren Münzen gälte diese Schlussfolgerung nicht ohne Weiteres.
Warum eine Wägung nicht genügt
Vorher gibt es neun mögliche Identitäten. Eine einzige Wägung liefert höchstens drei unterscheidbare Ergebnisse. Soll die Identität sicher feststehen, dürften keine zwei möglichen Münzen dasselbe Ergebnis liefern. Neun Möglichkeiten lassen sich aber nicht auf drei Ergebnisse verteilen, ohne dass mehrere zusammenfallen.
Mit zwei Wägungen sind höchstens 3 × 3 = 9 Ergebnisfolgen möglich, auch wenn die zweite Wägung vom ersten Ergebnis abhängt. Diese Anzahl allein beweist noch nicht, dass eine passende Strategie existiert. Die oben angegebene Strategie verwirklicht tatsächlich neun verschiedene Ergebnisfolgen, eine pro Münze. Sie ist damit im schlechtesten Fall optimal.